「平方根」の変形、a√b の応用 ⇒ 楽勝！

中３です。「平方根」の変形の応用問題が…。

　
中学生から、こんなご相談が届きました。

「√２４ｎが自然数となるような、

　もっとも小さい自然数ｎを求めなさい。

　この問題がよく分かりません…」

なるほど、

「n にどんな数が入るのか、
　イメージできない…」

というお悩みですね。

結論から言うと、コツがあるんです。

“a√b”に変形すると
簡単に答えが見つかりますよ！

以下で詳しく説明しますね。

■まずは準備体操を！

ご質問の問題を解くには、

◇「“a√b”の変形」

を知っている必要があります。

中３数学の大事なポイントなので、
解説を用意しました。

こちらのページです。

まだ読んでいない中学生は、
チェックしておいてくださいね。

読んだ後に戻ってくると、

“分かりやすくなった！”

という実感が持てるはずですよ。

■“もっとも小さい自然数ｎ”と書かれているワケ

では、上記ページを理解した人に向けて、

お話を続けていきます。

（ここからが本題です。）

ご質問の問題ですが、

「自然数になる」とは、
「√がはずれる」という意味です。

√の中に２乗の数があれば、

「√がはずれる」のがルールでしたね。

つまり、

√２４ｎが自然数となる条件は、

√の中の“２４ｎ”が

「自然数の２乗の形」になることです。

…ということは、

単純に考えると、

「ｎ＝２４」を入れて

√(２４×２４)＝２４

という、√のはずし方もありますね。

（これが一番簡単ですが、

　今回の答えがこれでよいかどうか、

　もう少し考えてみましょう。）

じっさい、

n に大きな数を入れようと思えば、
けっこう大きなものもあります。

“√２４ｎ”のｎには、

「２４」だけでなく、たとえば
「５４」や「９６」など、

大きなものを入れても、√ははずれるからです。

（つまり、大きな数を探せば、
　たくさん見つかります。

　ただ、今回の問いは
　そうしろとは言っていない、

　ということがポイントですね！）

さあ、話の流れが見えてきましたね。

「√をはずしなさい」というだけなら、
「２４」でよい事になります。

また、

「大きな数を色々探しなさい」という問いなら、

たくさん見つけることもできます。

しかし――

それでは答えが多くなりすぎるので、

“もっとも小さい自然数ｎ”を探しなさい、
という問いになったのです。

これなら答えが、
１つにしぼられるからです。

（数学の先生は、このくらい
　しっかり考えているんですよ。）

■“a√b”を利用しよう！

では、問題の意味が分かったので、

実際に考えてみましょう。

◇２４＝４×６

と簡単に分解できます。

ですので、

√２４ｎ
＝√(４×６×ｎ)　←４は２になって外に出る
＝２√６ｎ

別ページで解説した通り、
ここまではすぐ来られます。

さて。

√をはずすためには
ｎにどんな数を入れればよいでしょう？

―― そうですね！

「√の中が２乗の形」になればいいので、

ｎ＝６ですね。

ｎに６を代入すると、

２√(６×６)
＝２×６
＝１２

…と自然数の形になります！

ですから「６」が正解なんです。

（６より小さい数を入れても、

　√がはずれることは、
　今回はありません。

　素因数分解して、a√b の形にまで
　変形しているので、

　こうした変形じたいが、

　“小さい数を探す”ことだからです。

　「分解すること＝小さい数を探すこと」

　だからですね。）

…

＜まとめ＞

この種の問題のコツは、

“a√b”の形を利用し、

√の中の数を、できるだけ
小さい形にすることです。

この方法でサクサク解けますよ！

中３生の皆さん、

この問題や、これに似た問題は、

数学の定期テストで、
出題率がほぼ１００％です。

試験範囲が「平方根」に
なっている中３生は、

次の定期テストが楽しみですね！
　