比例・反比例は「１次関数」に入りますか？

中２です。「１次関数」と比例・反比例の関係って…？

　
中学生から、こんなご質問が届きました。

「１次関数と、比例・反比例の違いは何ですか？

　“１次関数を選びなさい”という問題では、

　比例は選んでＯＫで、
　反比例はダメなのですね？」

すごく良い質問だと思います。

おっしゃる通りで、

◇比例は“１次関数の仲間”

いっぽうで、

◇反比例は“１次関数ではない”

と考えるのが、中学校の数学です。

以下でポイントを解説するので、

丁寧に読んでみてくださいね。

■１次関数の表し方とは？

ｙがｘの１次式で表されるとき、
ｙはｘの１次関数である

…と教科書では説明されます。

教科書だけでは
ピンとこないかもしれませんが、

要するに、

ｙ＝ａｘ＋ｂ

という形になったら１次関数です。

このように覚えるのが、
中２数学のコツですね。

［中学生によくある誤解］

「１次関数」には、

こんな誤解もよくあります。

× “ａｘ”というのは、
　文字が２個かけてあるから、２次式ですよね？

これは実は誤解で、

１次関数の場合、

a という文字を使ったのは
あくまで仮の話なので、

実際には数字が入ります。

例えば、こんな感じです。

ｙ＝２ｘ＋３・・・ １次関数の例

a には「２」という数字が、
b には「３」という数字が、

この例では入りますから、

“ax”は、実際には「2 x」なので、

次数は１、つまり１次式なのです。

（だから「１次関数」と言うのですよ！）

こうした点に納得することも、
実力アップのコツです。

…

■「比例」は、１次関数の“特別な形”

ｙ＝ａｘ＋ｂ

これが「１次関数」であることは
もう納得できましたね。

ａ，ｂには、いろいろな数字が入ります。

（ただし、ａ≠０ですよ。）

具体例を以下に４つ挙げてみましょう。

◇ｙ＝２ｘ＋３

◇ｙ＝－３ｘ＋４

◇ｙ＝４ｘ－１

◇ｙ＝２ｘ＋０

４番目に注目してほしいのですが、

皆さんはこんな風に感じませんでしたか？

「＋０と書いてありますが、

　こういう“０”は、
　書かなくてもよいのでは…？」

こう感じた中学生は、
とてもセンスが良いと思います。

数学のコツに迫っているからです。

普通、“＋０”や“－０”は、
書かないものですよね。

そこで、上記の４番目の例で、

「０を書かない」

ということを、あえてしてみましょう。

すると――

◇ y ＝２ｘ

この形、どこかで見たような…

そう、「比例」の式ですね！

実はこのように、

★「b ＝０」になるタイプの１次関数

のことを、比例と呼ぶのです。

だから、

・比例は１次関数の仲間

・比例は、１次関数の“特別な形”

と言えるのですね。

（それはちょうど、図形の話で、

　「正方形」が、

　縦と横の長さが同じになっている、

　「特別な長方形」と言えるのと同じです。）

［ここまでのまとめ］

◇１次関数　ｙ＝ａｘ＋ｂ　で、ｂ＝０の時、

　⇒ それを特別に、「比例」と呼ぶ

　⇒ だから、「比例」は１次関数の仲間

…

■反比例は何次式？

では、反比例の話もしましょう。

・反比例は１次関数なのでしょうか？

という、よくある疑問に対して、

◇反比例は、１次関数ではない

と結論をしっかり押さえるのが
数学のコツです。

（なお、「関数は苦手…」という中学生は、

　上に書いた結論を押さえれば、
　多くの問題が解けます。

　ここから下の解説は、

　より深く納得したい人向けです。）

反比例が１次関数かどうかを考えるため、

再び教科書に戻ってみます。

１次関数とは何だったかというと――

「ｙがｘの１次式で表されるとき、

　ｙはｘの１次関数である」

と説明されていますね。

これは逆に言えば、

「１次式でないのなら、１次関数ではない」

ということです。

さて、反比例はどうでしょうか？

反比例とは、y ＝ a / x　のことですが、

この次数を考えてみましょう。

次数とは、

★「文字がいくつかけあわされているか」

で判断するので、

反比例 “ｙ＝ａ／ｘ” をかけ算の形で
表す必要があります。

　　　　a
y ＝ ----
　　　　x

　　　a 　　　　 1
＝ ---- × ----
　　　1 　　　　 x

　　　　　　 1
＝ a × ----
　　　　　　 x

ここまで考えてくると、

“１／ｘ（ｘ分の１）”って、次数はいくつなの？

という疑問が出るでしょう。

ただここで、中学校で習う範囲を
少し超えてしまうんです。

「分母に x が入るようなかけ算」で、

次数がいくつなのかを問う事は、
中学数学ではしない事だからです。

ここで１つ、はっきり言えることは、

・この形は「１次式」ではない

ということです。

ですから、こうした理由で――

◇反比例は「１次関数ではない」

と言い切ることができるのです。

…

＜まとめ＞

ご質問へのお答えをまとめると、
このようになります。

「１次関数を選びなさい」という問題では、

◇ y ＝ ax ＋ b になるものを選ぶ

◇比例（y ＝ ax）も選んでよい

　※ それはたまたま「b ＝０」を
　書かなかっただけだから。

◇反比例を選んではいけない

　（反比例は１次関数ではない。）

これが中２数学で、
得点アップするコツです。

さあ、次の定期テストは頑張りましょう！

「学校ワーク」からたくさん出るので、
繰り返し練習が有効ですよ。
　