「平方根」の変形、a√b ⇒ 楽勝のコツ！ | 中３生の「数学」アップ法

中３です。「平方根」の変形のコツは…？

　
中学生から、こんなご質問をいただきました。

「平方根って“a√b”の形に変形しますよね。

　速く変形するコツはありますか？」

はい、もちろんコツはあります。

中３数学の大事な技術なので、

以下をよく読んでみてくださいね。

■“a√b”の変形のしかたは？

「平方根」の重要ポイントなので、

まずは、どうやって“a√b”の形に
変形するのかを、

確認しておきましょう。

「√18」が分かりやすい例です。

素因数分解をすると

１８＝２×３×３

◇√の中に２乗の数があると、
　　　　　　↓
　　　「√ははずれる」

というルールでしたね。

１８を素因数分解した式を見ると、

「３×３」が「３を２乗した形」ですから、

√１８
＝√２×√(３×３)
＝√２×３
＝３√２

となります。

では、もう少し発展させましょう。

「√７２」を変形します。

素因数分解をすると

７２＝２×２×２×３×３

ここで、戸惑う中学生もいるかもしれません。

△“２”を３回かけているから
　「２の３乗」なので、√ははずれないかも…

と思うかもしれませんが、

大丈夫、これも変形できるんです。

こういう時は、

２乗のペア「だけ」に注目しましょう。

すなわち、

◇２×(２×２)

として、１個残った“２”は

√の中に残しておけばよいのです。

これが数学のコツですよ！

ですから――

√７２
＝√２×√(２×２)×√(３×３)
＝√２×２×３
＝√２×６
＝６√２

となります。

これで変形できましたね。

■“４×□”“９×□”の形を作るのがコツ！

ここで、√がはずれる時の
√の中の数を見てみましょう。

２×２＝４
３×３＝９

ですね。

つまり――

４×□　や　９×□　の形ができれば、

４は２に、９は３になって
√の外に出てしまう。

この法則をしっかり押さえることです。

暗算が速くなるからです。

（テストでは速さも重要ですよね。

　定期テストの数学スコアは、
　こういう点からも伸びてきますよ。）

たとえば「√１８」なら、

√１８
＝√(９×２)　←９は３になって外に出る
＝３×√２
＝３√２

また「√７２」なら、

√７２
＝√(９×８)　　　←９は３になって外に出る
＝３×√８
＝３×√(４×２)　←４は２になって外に出る
＝３×２×√２
＝６√２

…という感じで、計算することができます。

圧倒的に速いですよね！

このように考えれば、

全てを素因数分解をしなくても
“a√b”に変形できます。

テストで効果を発揮する「速い方法」、

まさに中３数学のコツですね。

…

＜おまけ＞

√１００まででしたら

ほとんどの整数が、

４×□、９×□　の組み合わせで
できているという理由で、

上記の「速い方法」が有効です。

一方で、

√５０、√７５（→２５×□）
√９８（→４９×□）

の３つだけは、

４×□や９×□　ではできない“例外”です。

つまり、この３つの例外だけを
あらかじめ知っておけば、

ますます暗算が速くなるのです。

「絶対に高得点が欲しい！」

という皆さんはぜひ意識しましょう。

（もちろん、

　「かけ算に自信がないな…」という中３生は、

　全てを素因数分解で解いても構いません。）

この記事でお勧めしているのは、

「平方根」の問題をパッと見て――

◇「４の段のかけ算だ！」

◇「９の段のかけ算だ！」

と分かれば、

全てを素因数分解しなくても
速く変形できますよ、

ということです。

基本を押さえた上での、

★スピードアップ法

これの習得がコツです。

しっかりマスターして、

定期テスト、模試ともに
高得点を狙っていきましょう！
　